$$$4^{- x}$$$ 的积分

求$$$\int 4^{- x}\, dx$$$。

设$$$u=- x$$$。

则$$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{4^{- x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 4^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = 4^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 4^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{4^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=4$$$:

$$- {\color{red}{\int{4^{u} d u}}} = - {\color{red}{\frac{4^{u}}{\ln{\left(4 \right)}}}}$$

回忆一下 $$$u=- x$$$:

$$- \frac{4^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(4 \right)}} = - \frac{4^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(4 \right)}}$$

因此，

$$\int{4^{- x} d x} = - \frac{4^{- x}}{\ln{\left(4 \right)}}$$

化简：

$$\int{4^{- x} d x} = - \frac{4^{- x}}{2 \ln{\left(2 \right)}}$$

加上积分常数：

$$\int{4^{- x} d x} = - \frac{4^{- x}}{2 \ln{\left(2 \right)}}+C$$

$$$\int 4^{- x}\, dx = - \frac{4^{- x}}{2 \ln\left(2\right)} + C$$$A