$$$\frac{4}{3 x - 1}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{4}{3 x - 1}\, dx$$$。

对 $$$c=4$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 1}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{4}{3 x - 1} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{3 x - 1} d x}\right)}}$$

设$$$u=3 x - 1$$$。

则$$$du=\left(3 x - 1\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{3}$$$。

因此，

$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 1} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的积分为 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=3 x - 1$$$:

$$\frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} = \frac{4 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 1\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

因此，

$$\int{\frac{4}{3 x - 1} d x} = \frac{4 \ln{\left(\left|{3 x - 1}\right| \right)}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{4}{3 x - 1} d x} = \frac{4 \ln{\left(\left|{3 x - 1}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{4}{3 x - 1}\, dx = \frac{4 \ln\left(\left|{3 x - 1}\right|\right)}{3} + C$$$A