$$$- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1$$$ 的积分
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求$$$\int \left(- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{3 x d x} - \int{\frac{x^{26}}{2} d x}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=1$$$：
$$\int{3 x d x} - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{3 x d x} - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} - {\color{red}{x}}$$
对 $$$c=3$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- x - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} + {\color{red}{\int{3 x d x}}} = - x - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} + {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：
$$- x - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} + 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=- x - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x - \int{\frac{x^{26}}{2} d x} + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{26}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$\frac{3 x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\int{\frac{x^{26}}{2} d x}}} = \frac{3 x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{26} d x}}{2}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=26$$$：
$$\frac{3 x^{2}}{2} - x - \frac{{\color{red}{\int{x^{26} d x}}}}{2}=\frac{3 x^{2}}{2} - x - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 26}}{1 + 26}}}}{2}=\frac{3 x^{2}}{2} - x - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{27}}{27}\right)}}}{2}$$
因此，
$$\int{\left(- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1\right)d x} = - \frac{x^{27}}{54} + \frac{3 x^{2}}{2} - x$$
化简：
$$\int{\left(- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1\right)d x} = \frac{x \left(- x^{26} + 81 x - 54\right)}{54}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1\right)d x} = \frac{x \left(- x^{26} + 81 x - 54\right)}{54}+C$$
答案
$$$\int \left(- \frac{x^{26}}{2} + 3 x - 1\right)\, dx = \frac{x \left(- x^{26} + 81 x - 54\right)}{54} + C$$$A