$$$3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right)$$$ 的积分

求$$$\int 3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right)\, dx$$$。

设$$$u=2 x^{3} - 8$$$。

则$$$du=\left(2 x^{3} - 8\right)^{\prime }dx = 6 x^{2} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x^{2} dx = \frac{du}{6}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e u}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{e}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e u}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{e \int{u d u}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$\frac{e {\color{red}{\int{u d u}}}}{2}=\frac{e {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{e {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=2 x^{3} - 8$$$:

$$\frac{e {\color{red}{u}}^{2}}{4} = \frac{e {\color{red}{\left(2 x^{3} - 8\right)}}^{2}}{4}$$

因此，

$$\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x} = \frac{e \left(2 x^{3} - 8\right)^{2}}{4}$$

化简：

$$\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x} = e \left(x^{3} - 4\right)^{2}$$

加上积分常数：

$$\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x} = e \left(x^{3} - 4\right)^{2}+C$$

$$$\int 3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right)\, dx = e \left(x^{3} - 4\right)^{2} + C$$$A