$$$2 \ln\left(2 x\right)$$$ 的积分

求$$$\int 2 \ln\left(2 x\right)\, dx$$$。

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(2 x \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

设$$$u=2 x$$$。

则$$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(2 x \right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

设 $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

则 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}={\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}$$

回忆一下 $$$u=2 x$$$:

$$- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - {\color{red}{\left(2 x\right)}} + {\color{red}{\left(2 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x} = 2 x \ln{\left(2 x \right)} - 2 x$$

化简：

$$\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x} = 2 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(2 \right)}\right)$$

加上积分常数：

$$\int{2 \ln{\left(2 x \right)} d x} = 2 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(2 \right)}\right)+C$$

$$$\int 2 \ln\left(2 x\right)\, dx = 2 x \left(\ln\left(x\right) - 1 + \ln\left(2\right)\right) + C$$$A