$$$- 5 x + 2 e^{x} - 10 e^{- x}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- 5 x + 2 e^{x} - 10 e^{- x}\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- 5 x + 2 e^{x} - 10 e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{5 x d x} - \int{10 e^{- x} d x} + \int{2 e^{x} d x}\right)}}$$

对 $$$c=10$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} - {\color{red}{\int{10 e^{- x} d x}}} = - \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} - {\color{red}{\left(10 \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

设$$$u=- x$$$。

则$$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - du$$$。

该积分可以改写为

$$- \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} - 10 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} - 10 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} - 10 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} - 10 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} + 10 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} + 10 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- x$$$:

$$- \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} + 10 e^{{\color{red}{u}}} = - \int{5 x d x} + \int{2 e^{x} d x} + 10 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

对 $$$c=5$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\int{2 e^{x} d x} - {\color{red}{\int{5 x d x}}} + 10 e^{- x} = \int{2 e^{x} d x} - {\color{red}{\left(5 \int{x d x}\right)}} + 10 e^{- x}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$\int{2 e^{x} d x} - 5 {\color{red}{\int{x d x}}} + 10 e^{- x}=\int{2 e^{x} d x} - 5 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}} + 10 e^{- x}=\int{2 e^{x} d x} - 5 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}} + 10 e^{- x}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- \frac{5 x^{2}}{2} + {\color{red}{\int{2 e^{x} d x}}} + 10 e^{- x} = - \frac{5 x^{2}}{2} + {\color{red}{\left(2 \int{e^{x} d x}\right)}} + 10 e^{- x}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$：

$$- \frac{5 x^{2}}{2} + 2 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} + 10 e^{- x} = - \frac{5 x^{2}}{2} + 2 {\color{red}{e^{x}}} + 10 e^{- x}$$

因此，

$$\int{\left(- 5 x + 2 e^{x} - 10 e^{- x}\right)d x} = - \frac{5 x^{2}}{2} + 2 e^{x} + 10 e^{- x}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- 5 x + 2 e^{x} - 10 e^{- x}\right)d x} = - \frac{5 x^{2}}{2} + 2 e^{x} + 10 e^{- x}+C$$

$$$\int \left(- 5 x + 2 e^{x} - 10 e^{- x}\right)\, dx = \left(- \frac{5 x^{2}}{2} + 2 e^{x} + 10 e^{- x}\right) + C$$$A