$$$2 e^{2 y}$$$ 的积分

求$$$\int 2 e^{2 y}\, dy$$$。

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(y \right)} = e^{2 y}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{2 y} d y}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{2 y} d y}\right)}}$$

设$$$u=2 y$$$。

则$$$du=\left(2 y\right)^{\prime }dy = 2 dy$$$ (步骤见»)，并有$$$dy = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{e^{2 y} d y}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=2 y$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\left(2 y\right)}}}$$

因此，

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}$$

加上积分常数：

$$\int{2 e^{2 y} d y} = e^{2 y}+C$$

$$$\int 2 e^{2 y}\, dy = e^{2 y} + C$$$A