$$$20 e^{\frac{3 x}{2}}$$$ 的积分

求$$$\int 20 e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$$$。

对 $$$c=20$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{3 x}{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(20 \int{e^{\frac{3 x}{2}} d x}\right)}}$$

设$$$u=\frac{3 x}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{3 x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{3 dx}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{2 du}{3}$$$。

因此，

$$20 {\color{red}{\int{e^{\frac{3 x}{2}} d x}}} = 20 {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{3} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{2}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$20 {\color{red}{\int{\frac{2 e^{u}}{3} d u}}} = 20 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{40 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=\frac{3 x}{2}$$$:

$$\frac{40 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{40 e^{{\color{red}{\left(\frac{3 x}{2}\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x} = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{20 e^{\frac{3 x}{2}} d x} = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}+C$$

$$$\int 20 e^{\frac{3 x}{2}}\, dx = \frac{40 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} + C$$$A