$$$- \rho t + 1$$$ 关于$$$t$$$的积分

求$$$\int \left(- \rho t + 1\right)\, dt$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- \rho t + 1\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d t} - \int{\rho t d t}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dt = c t$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$- \int{\rho t d t} + {\color{red}{\int{1 d t}}} = - \int{\rho t d t} + {\color{red}{t}}$$

对 $$$c=\rho$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = t$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$$t - {\color{red}{\int{\rho t d t}}} = t - {\color{red}{\rho \int{t d t}}}$$

应用幂法则 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$- \rho {\color{red}{\int{t d t}}} + t=- \rho {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}} + t=- \rho {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}} + t$$

因此，

$$\int{\left(- \rho t + 1\right)d t} = - \frac{\rho t^{2}}{2} + t$$

化简：

$$\int{\left(- \rho t + 1\right)d t} = \frac{t \left(- \rho t + 2\right)}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- \rho t + 1\right)d t} = \frac{t \left(- \rho t + 2\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(- \rho t + 1\right)\, dt = \frac{t \left(- \rho t + 2\right)}{2} + C$$$A