$$$\frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}\, dy$$$。

输入已重写为：$$$\int{\frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}} d y}=\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y}$$$。

配平方（步骤见»）：$$$y^{2} - y = \left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}} d y}}}$$

设$$$u=y - \frac{1}{2}$$$。

则$$$du=\left(y - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$ (步骤见»)，并有$$$dy = du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u}}}$$

设$$$u=\frac{\cosh{\left(v \right)}}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{\cosh{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\sinh{\left(v \right)}}{2} dv$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$v=\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{ u ^{2} - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^{2}{\left( v \right)}}{4} - \frac{1}{4}}}$$$

利用恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^{2}{\left( v \right)}}{4} - \frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}=\frac{2}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假设$$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{2}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2}{\sinh{\left( v \right)}}$$$

积分变为

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dv = c v$$$，使用 $$$c=1$$$：

$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$

回忆一下 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}$$$:

$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=y - \frac{1}{2}$$$:

$$\operatorname{acosh}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{acosh}{\left(2 {\color{red}{\left(y - \frac{1}{2}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y} = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y} = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}\, dy = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)} + C$$$A