$$$\frac{1}{\sqrt{- 6 x^{25} + x^{2}}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{- 6 x^{25} + x^{2}}}\, dx$$$。

输入已重写为：$$$\int{\frac{1}{\sqrt{- 6 x^{25} + x^{2}}} d x}=\int{\frac{1}{x \sqrt{1 - 6 x^{23}}} d x}$$$。

设$$$u=x^{\frac{23}{2}}$$$。

则$$$du=\left(x^{\frac{23}{2}}\right)^{\prime }dx = \frac{23 x^{\frac{21}{2}}}{2} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x^{\frac{21}{2}} dx = \frac{2 du}{23}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{1 - 6 x^{23}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{23 u \sqrt{1 - 6 u^{2}}} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{2}{23}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \sqrt{1 - 6 u^{2}}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2}{23 u \sqrt{1 - 6 u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{u \sqrt{1 - 6 u^{2}}} d u}}{23}\right)}}$$

设$$$u=\frac{\sqrt{6} \sin{\left(v \right)}}{6}$$$。

则$$$du=\left(\frac{\sqrt{6} \sin{\left(v \right)}}{6}\right)^{\prime }dv = \frac{\sqrt{6} \cos{\left(v \right)}}{6} dv$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$v=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} u \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{ u \sqrt{1 - 6 u ^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}}$$$

利用恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}}$$$

假设$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}} \sin{\left( v \right)}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin{\left( v \right)} \cos{\left( v \right)}}$$$

因此，

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u \sqrt{1 - 6 u^{2}}} d u}}}}{23} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(v \right)}} d v}}}}{23}$$

使用二倍角公式 $$$\sin\left( v \right)=2\sin\left(\frac{ v }{2}\right)\cos\left(\frac{ v }{2}\right)$$$ 改写正弦:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(v \right)}} d v}}}}{23} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{v}{2} \right)} \cos{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{23}$$

将分子和分母同时乘以 $$$\sec^2\left(\frac{ v }{2} \right)$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{v}{2} \right)} \cos{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{23} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{23}$$

设$$$w=\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}$$$。

则$$$dw=\left(\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}\right)^{\prime }dv = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)}}{2} dv$$$ (步骤见»)，并有$$$\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)} dv = 2 dw$$$。

积分变为

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{v}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{v}{2} \right)}} d v}}}}{23} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{23}$$

$$$\frac{1}{w}$$$ 的积分为 $$$\int{\frac{1}{w} d w} = \ln{\left(\left|{w}\right| \right)}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{23} = \frac{2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{w}\right| \right)}}}}{23}$$

回忆一下 $$$w=\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}$$$:

$$\frac{2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{w}}}\right| \right)}}{23} = \frac{2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{v}{2} \right)}}}}\right| \right)}}{23}$$

回忆一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} u \right)}$$$:

$$\frac{2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{{\color{red}{v}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{23} = \frac{2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} u \right)}}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{23}$$

回忆一下 $$$u=x^{\frac{23}{2}}$$$:

$$\frac{2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} {\color{red}{u}} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{23} = \frac{2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} {\color{red}{x^{\frac{23}{2}}}} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{23}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{1 - 6 x^{23}}} d x} = \frac{2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} x^{\frac{23}{2}} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{23}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{1 - 6 x^{23}}} d x} = \frac{2 \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} x^{\frac{23}{2}} \right)}}{2} \right)}}\right| \right)}}{23}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- 6 x^{25} + x^{2}}}\, dx = \frac{2 \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{6} x^{\frac{23}{2}} \right)}}{2} \right)}}\right|\right)}{23} + C$$$A