$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}\, dx$$$。

设$$$x=2 \sinh{\left(u \right)}$$$。

则$$$dx=\left(2 \sinh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 2 \cosh{\left(u \right)} du$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$。

所以，

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} = \frac{1}{\sqrt{4 \sinh^{2}{\left( u \right)} + 4}}$$$

利用恒等式 $$$\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1 = \cosh^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{4 \sinh^{2}{\left( u \right)} + 4}}=\frac{1}{2 \sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)} + 1}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{2 \cosh{\left( u \right)}}$$$

积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

回忆一下 $$$u=\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}\, dx = \operatorname{asinh}{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A