$$$\frac{x}{2} + 1$$$ 的积分

求$$$\int \left(\frac{x}{2} + 1\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(\frac{x}{2} + 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{x}{2} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$\int{\frac{x}{2} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{x}{2} d x} + {\color{red}{x}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$x + {\color{red}{\int{\frac{x}{2} d x}}} = x + {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$x + \frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{2}=x + \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=x + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

因此，

$$\int{\left(\frac{x}{2} + 1\right)d x} = \frac{x^{2}}{4} + x$$

化简：

$$\int{\left(\frac{x}{2} + 1\right)d x} = \frac{x \left(x + 4\right)}{4}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(\frac{x}{2} + 1\right)d x} = \frac{x \left(x + 4\right)}{4}+C$$

$$$\int \left(\frac{x}{2} + 1\right)\, dx = \frac{x \left(x + 4\right)}{4} + C$$$A