$$$\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}}\, dx$$$。

设$$$u=11 x$$$。

则$$$du=\left(11 x\right)^{\prime }dx = 11 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{11}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{11 \cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{11}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{11 \cos{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}{11}\right)}}$$

使用公式$$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$将余弦用正弦表示，然后使用二倍角公式$$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$将正弦改写。:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11}$$

将分子和分母同时乘以 $$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11}$$

设$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$。

则$$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$ (步骤见»)，并有$$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$。

该积分可以改写为

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{11}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的积分为 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{11} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{11}$$

回忆一下 $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{11} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{11}$$

回忆一下 $$$u=11 x$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{11} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\left(11 x\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{11}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{11 x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{11}$$

化简：

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{22 x + \pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{11}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{22 x + \pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{11}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos{\left(11 x \right)}}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{22 x + \pi}{4} \right)}}\right|\right)}{11} + C$$$A