$$$\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}\, dx$$$。

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{200}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{\frac{x}{200}} d x}}{2}\right)}}$$

设$$$u=\frac{x}{200}$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{200}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{200}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = 200 du$$$。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{\frac{x}{200}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{200 e^{u} d u}}}}{2}$$

对 $$$c=200$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{200 e^{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(200 \int{e^{u} d u}\right)}}}{2}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$100 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 100 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{200}$$$:

$$100 e^{{\color{red}{u}}} = 100 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{200}\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x} = 100 e^{\frac{x}{200}}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{e^{\frac{x}{200}}}{2} d x} = 100 e^{\frac{x}{200}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{x}{200}}}{2}\, dx = 100 e^{\frac{x}{200}} + C$$$A