$$$- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx$$$。

对 $$$c=- \frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}{4}\right)}}$$

设$$$u=2 x$$$。

则$$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4} = - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{4}$$

正弦函数的积分为 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{8} = - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{8}$$

回忆一下 $$$u=2 x$$$:

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{8}$$

因此，

$$\int{\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)d x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)d x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+C$$

$$$\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + C$$$A