$$$- \frac{6}{\left(2 x - 9\right)^{2}}$$$ 的积分
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求$$$\int \left(- \frac{6}{\left(2 x - 9\right)^{2}}\right)\, dx$$$。
解答
对 $$$c=-6$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(2 x - 9\right)^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{6}{\left(2 x - 9\right)^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- 6 \int{\frac{1}{\left(2 x - 9\right)^{2}} d x}\right)}}$$
设$$$u=2 x - 9$$$。
则$$$du=\left(2 x - 9\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。
该积分可以改写为
$$- 6 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(2 x - 9\right)^{2}} d x}}} = - 6 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$$- 6 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u^{2}} d u}}} = - 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=-2$$$：
$$- 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}=- 3 {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}=- 3 {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=- 3 {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}=- 3 {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$
回忆一下 $$$u=2 x - 9$$$:
$$3 {\color{red}{u}}^{-1} = 3 {\color{red}{\left(2 x - 9\right)}}^{-1}$$
因此，
$$\int{\left(- \frac{6}{\left(2 x - 9\right)^{2}}\right)d x} = \frac{3}{2 x - 9}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(- \frac{6}{\left(2 x - 9\right)^{2}}\right)d x} = \frac{3}{2 x - 9}+C$$
答案
$$$\int \left(- \frac{6}{\left(2 x - 9\right)^{2}}\right)\, dx = \frac{3}{2 x - 9} + C$$$A