$$$- 3 x \sqrt{5 - x^{2}}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}}\right)\, dx$$$。

设$$$u=5 - x^{2}$$$。

则$$$du=\left(5 - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{\left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 \sqrt{u}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{3}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{3 \sqrt{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\sqrt{u} d u}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=\frac{1}{2}$$$：

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}}{2}=\frac{3 {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}}{2}=\frac{3 {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{3 {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=5 - x^{2}$$$:

$${\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}} = {\color{red}{\left(5 - x^{2}\right)}}^{\frac{3}{2}}$$

因此，

$$\int{\left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}}\right)d x} = \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}}\right)d x} = \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}+C$$

$$$\int \left(- 3 x \sqrt{5 - x^{2}}\right)\, dx = \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} + C$$$A