$$$\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}\, dx$$$。

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- \frac{3 x}{4}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}{2}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{3 x}{4}} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}=- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right) \cdot 1 d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{4 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)d x}\right)}}}{2}$$

对 $$$c=- \frac{4}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{4}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)d x}}}}{2} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}{3}\right)}}}{2}$$

设$$$u=- \frac{3 x}{4}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{3 x}{4}\right)^{\prime }dx = - \frac{3 dx}{4}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{4 du}{3}$$$。

该积分可以改写为

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}}}{3} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}}{3}$$

对 $$$c=- \frac{4}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}}{3} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{3}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$:

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{{\color{red}{\left(- \frac{3 x}{4}\right)}}}}{9}$$

因此，

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}$$

化简：

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}+C$$

$$$\int \frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}\, dx = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9} + C$$$A