$$$\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}$$$ 的积分

求$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx$$$。

输入已重写为：$$$\int{\sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}} d x}=\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}$$$。

设$$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$。

则$$$du=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\prime }dx = \frac{3 \sqrt{x}}{2} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$\sqrt{x} dx = \frac{2 du}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{2}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2}{3 \sqrt{4 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}{3}\right)}}$$

设$$$u=2 \sin{\left(v \right)}$$$。

则$$$du=\left(2 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 2 \cos{\left(v \right)} dv$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$。

被积函数变为

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

利用恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

假设$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{1}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{2 \cos{\left( v \right)}}$$$

因此，

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{4 - u^{2}}} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dv = c v$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d v}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{v}}}{3}$$

回忆一下 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{v}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{2} \right)}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=x^{\frac{3}{2}}$$$:

$$\frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{x^{\frac{3}{2}}}}}{2} \right)}}{3}$$

因此，

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{3}}} d x} = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{x}{4 - x^{3}}}\, dx = \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} \right)}}{3} + C$$$A