$$$\ln\left(y\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln\left(y\right)\, dy$$$。

对于积分$$$\int{\ln{\left(y \right)} d y}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(y \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dy$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy=\frac{dy}{y}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d y}=y$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(y \right)} d y}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(y \right)} \cdot y-\int{y \cdot \frac{1}{y} d y}\right)}}={\color{red}{\left(y \ln{\left(y \right)} - \int{1 d y}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dy = c y$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$y \ln{\left(y \right)} - {\color{red}{\int{1 d y}}} = y \ln{\left(y \right)} - {\color{red}{y}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \ln{\left(y \right)} - y$$

化简：

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \left(\ln{\left(y \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \left(\ln{\left(y \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(y\right)\, dy = y \left(\ln\left(y\right) - 1\right) + C$$$A