$$$- \frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}$$$ 的积分
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求$$$\int \left(- \frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}\right)\, dx$$$。
解答
输入已重写为：$$$\int{\left(- \frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}\right)d x}=\int{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x}$$$。
化简被积函数:
$${\color{red}{\int{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)d x}}}$$
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{3} d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$：
$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{3} d x}}} = - \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：
$$\frac{x}{3} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\frac{x}{3} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{x}{3} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3}$$
化简：
$$\int{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x} = \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{3 x^{2}}\right) d x} = \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(- \frac{x^{2} \left(3 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{3}\right)\, dx = \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{3} + C$$$A