$$$- 3 y^{5} + y^{2}$$$ 的积分

求$$$\int \left(- 3 y^{5} + y^{2}\right)\, dy$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(- 3 y^{5} + y^{2}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(\int{y^{2} d y} - \int{3 y^{5} d y}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$- \int{3 y^{5} d y} + {\color{red}{\int{y^{2} d y}}}=- \int{3 y^{5} d y} + {\color{red}{\frac{y^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \int{3 y^{5} d y} + {\color{red}{\left(\frac{y^{3}}{3}\right)}}$$

对 $$$c=3$$$ 和 $$$f{\left(y \right)} = y^{5}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$：

$$\frac{y^{3}}{3} - {\color{red}{\int{3 y^{5} d y}}} = \frac{y^{3}}{3} - {\color{red}{\left(3 \int{y^{5} d y}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=5$$$：

$$\frac{y^{3}}{3} - 3 {\color{red}{\int{y^{5} d y}}}=\frac{y^{3}}{3} - 3 {\color{red}{\frac{y^{1 + 5}}{1 + 5}}}=\frac{y^{3}}{3} - 3 {\color{red}{\left(\frac{y^{6}}{6}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(- 3 y^{5} + y^{2}\right)d y} = - \frac{y^{6}}{2} + \frac{y^{3}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(- 3 y^{5} + y^{2}\right)d y} = - \frac{y^{6}}{2} + \frac{y^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(- 3 y^{5} + y^{2}\right)\, dy = \left(- \frac{y^{6}}{2} + \frac{y^{3}}{3}\right) + C$$$A