$$$\left(x - 4\right)^{7}$$$ 的积分

求$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx$$$。

设$$$u=x - 4$$$。

则$$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\left(x - 4\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{7} d u}}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=7$$$：

$${\color{red}{\int{u^{7} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=x - 4$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{8} = \frac{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}^{8}}{8}$$

因此，

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}+C$$

$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8} + C$$$A