$$$x - x x^{- s} - 1$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \left(x - x x^{- s} - 1\right)\, dx$$$。

输入已重写为：$$$\int{\left(x - x x^{- s} - 1\right)d x}=\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x}$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{x d x} - \int{x^{1 - s} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$\int{x d x} - \int{x^{1 - s} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{x d x} - \int{x^{1 - s} d x} - {\color{red}{x}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：

$$- x - \int{x^{1 - s} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- x - \int{x^{1 - s} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x - \int{x^{1 - s} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1 - s$$$：

$$\frac{x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\int{x^{1 - s} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\frac{x^{\left(1 - s\right) + 1}}{\left(1 - s\right) + 1}}}=\frac{x^{2}}{2} - x - {\color{red}{\frac{x^{2 - s}}{2 - s}}}$$

因此，

$$\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{x^{2 - s}}{2 - s}$$

化简：

$$\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x} = \frac{\frac{x \left(s - 2\right) \left(x - 2\right)}{2} + x^{2 - s}}{s - 2}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(x - x^{1 - s} - 1\right)d x} = \frac{\frac{x \left(s - 2\right) \left(x - 2\right)}{2} + x^{2 - s}}{s - 2}+C$$

$$$\int \left(x - x x^{- s} - 1\right)\, dx = \frac{\frac{x \left(s - 2\right) \left(x - 2\right)}{2} + x^{2 - s}}{s - 2} + C$$$A