$$$\ln^{2}\left(3 x\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln^{2}\left(3 x\right)\, dx$$$。

设$$$u=3 x$$$。

则$$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(3 x \right)}^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}^{2}}{3} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}^{2}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}}{3}\right)}}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

设 $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

则 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}^{2}\right)^{\prime }du=\frac{2 \ln{\left(u \right)}}{u} du$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (步骤见 »)。

该积分可以改写为

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)}^{2} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)}^{2} \cdot u-\int{u \cdot \frac{2 \ln{\left(u \right)}}{u} d u}\right)}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(u \right)} d u}\right)}}}{3}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}}}{3} = \frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}}{3}$$

对于积分$$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$。

设 $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

则 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (步骤见 »)。

所以，

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{3}=\frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{3}=\frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{3}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{2 u \ln{\left(u \right)}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{1 d u}}}}{3} = \frac{u \ln{\left(u \right)}^{2}}{3} - \frac{2 u \ln{\left(u \right)}}{3} + \frac{2 {\color{red}{u}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=3 x$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{u}}}{3} - \frac{2 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}^{2}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\left(3 x\right)}}}{3} - \frac{2 {\color{red}{\left(3 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}^{2}}{3}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(3 x \right)}^{2} d x} = x \ln{\left(3 x \right)}^{2} - 2 x \ln{\left(3 x \right)} + 2 x$$

化简：

$$\int{\ln{\left(3 x \right)}^{2} d x} = x \left(\left(\ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 \right)}\right)^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} - 2 \ln{\left(3 \right)} + 2\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(3 x \right)}^{2} d x} = x \left(\left(\ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 \right)}\right)^{2} - 2 \ln{\left(x \right)} - 2 \ln{\left(3 \right)} + 2\right)+C$$

$$$\int \ln^{2}\left(3 x\right)\, dx = x \left(\left(\ln\left(x\right) + \ln\left(3\right)\right)^{2} - 2 \ln\left(x\right) - 2 \ln\left(3\right) + 2\right) + C$$$A