$$$x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2$$$ 的积分
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求$$$\int \left(x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{2 d x} + \int{x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) d x}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=2$$$：
$$\int{x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) d x} - {\color{red}{\int{2 d x}}} = \int{x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) d x} - {\color{red}{\left(2 x\right)}}$$
Simplify:
$$- 2 x + {\color{red}{\int{x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) d x}}} = - 2 x + {\color{red}{\int{\frac{x \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)}{3} d x}}}$$
化简被积函数:
$$- 2 x + {\color{red}{\int{\frac{x \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)}{3} d x}}} = - 2 x + {\color{red}{\int{\frac{x^{3} \left(6 - x\right)}{3} d x}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3} \left(6 - x\right)$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- 2 x + {\color{red}{\int{\frac{x^{3} \left(6 - x\right)}{3} d x}}} = - 2 x + {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{3} \left(6 - x\right) d x}}{3}\right)}}$$
Expand the expression:
$$- 2 x + \frac{{\color{red}{\int{x^{3} \left(6 - x\right) d x}}}}{3} = - 2 x + \frac{{\color{red}{\int{\left(- x^{4} + 6 x^{3}\right)d x}}}}{3}$$
逐项积分：
$$- 2 x + \frac{{\color{red}{\int{\left(- x^{4} + 6 x^{3}\right)d x}}}}{3} = - 2 x + \frac{{\color{red}{\left(\int{6 x^{3} d x} - \int{x^{4} d x}\right)}}}{3}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=4$$$：
$$- 2 x + \frac{\int{6 x^{3} d x}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{x^{4} d x}}}}{3}=- 2 x + \frac{\int{6 x^{3} d x}}{3} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}}{3}=- 2 x + \frac{\int{6 x^{3} d x}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}}{3}$$
对 $$$c=6$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$- \frac{x^{5}}{15} - 2 x + \frac{{\color{red}{\int{6 x^{3} d x}}}}{3} = - \frac{x^{5}}{15} - 2 x + \frac{{\color{red}{\left(6 \int{x^{3} d x}\right)}}}{3}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=3$$$：
$$- \frac{x^{5}}{15} - 2 x + 2 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \frac{x^{5}}{15} - 2 x + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \frac{x^{5}}{15} - 2 x + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2\right)d x} = - \frac{x^{5}}{15} + \frac{x^{4}}{2} - 2 x$$
化简：
$$\int{\left(x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2\right)d x} = x \left(- \frac{x^{4}}{15} + \frac{x^{3}}{2} - 2\right)$$
加上积分常数：
$$\int{\left(x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2\right)d x} = x \left(- \frac{x^{4}}{15} + \frac{x^{3}}{2} - 2\right)+C$$
答案
$$$\int \left(x \left(- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}\right) - 2\right)\, dx = x \left(- \frac{x^{4}}{15} + \frac{x^{3}}{2} - 2\right) + C$$$A