$$$\frac{5}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{5}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}\, dx$$$。

对 $$$c=5$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{5}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \int{\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x}\right)}}$$

设$$$x=\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}$$$。

则$$$dx=\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}\right)^{\prime }du = \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2} du$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$$。

被积函数变为

$$$\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

利用恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{3 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{3 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假设$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{1}{3 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{3 \cos{\left( u \right)}}$$$

积分可以改写为

$$5 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$：

$$5 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d u}}} = 5 {\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$$:

$$\frac{5 {\color{red}{u}}}{2} = \frac{5 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{5}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{5}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x} = \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{5}{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{5 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2} + C$$$A