$$$49 x^{3} e^{- 7 x}$$$ 的积分

求$$$\int 49 x^{3} e^{- 7 x}\, dx$$$。

对 $$$c=49$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3} e^{- 7 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{49 x^{3} e^{- 7 x} d x}}} = {\color{red}{\left(49 \int{x^{3} e^{- 7 x} d x}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x^{3} e^{- 7 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{3}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 7 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 7 x} d x}=- \frac{e^{- 7 x}}{7}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$$49 {\color{red}{\int{x^{3} e^{- 7 x} d x}}}=49 {\color{red}{\left(x^{3} \cdot \left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right) \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}=49 {\color{red}{\left(- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \int{\left(- \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{7}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=- \frac{3}{7}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{- 7 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 49 {\color{red}{\int{\left(- \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{7}\right)d x}}} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 49 {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{x^{2} e^{- 7 x} d x}}{7}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x^{2} e^{- 7 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 7 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 7 x} d x}=- \frac{e^{- 7 x}}{7}$$$ (步骤见 »)。

所以，

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} + 21 {\color{red}{\int{x^{2} e^{- 7 x} d x}}}=- 7 x^{3} e^{- 7 x} + 21 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}=- 7 x^{3} e^{- 7 x} + 21 {\color{red}{\left(- \frac{x^{2} e^{- 7 x}}{7} - \int{\left(- \frac{2 x e^{- 7 x}}{7}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=- \frac{2}{7}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- 7 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - 21 {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 x e^{- 7 x}}{7}\right)d x}}} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - 21 {\color{red}{\left(- \frac{2 \int{x e^{- 7 x} d x}}{7}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x e^{- 7 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- 7 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 7 x} d x}=- \frac{e^{- 7 x}}{7}$$$ (步骤见 »)。

所以，

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} + 6 {\color{red}{\int{x e^{- 7 x} d x}}}=- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} + 6 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} + 6 {\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{7}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- 7 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - 6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)d x}}} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - 6 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 7 x} d x}}{7}\right)}}$$

设$$$u=- 7 x$$$。

则$$$du=\left(- 7 x\right)^{\prime }dx = - 7 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{7}$$$。

因此，

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} + \frac{6 {\color{red}{\int{e^{- 7 x} d x}}}}{7} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} + \frac{6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{7}\right)d u}}}}{7}$$

对 $$$c=- \frac{1}{7}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} + \frac{6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{7}\right)d u}}}}{7} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} + \frac{6 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{7}\right)}}}{7}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - \frac{6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{49} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - \frac{6 {\color{red}{e^{u}}}}{49}$$

回忆一下 $$$u=- 7 x$$$:

$$- 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - \frac{6 e^{{\color{red}{u}}}}{49} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - \frac{6 e^{{\color{red}{\left(- 7 x\right)}}}}{49}$$

因此，

$$\int{49 x^{3} e^{- 7 x} d x} = - 7 x^{3} e^{- 7 x} - 3 x^{2} e^{- 7 x} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{7} - \frac{6 e^{- 7 x}}{49}$$

化简：

$$\int{49 x^{3} e^{- 7 x} d x} = \frac{\left(- 343 x^{3} - 147 x^{2} - 42 x - 6\right) e^{- 7 x}}{49}$$

加上积分常数：

$$\int{49 x^{3} e^{- 7 x} d x} = \frac{\left(- 343 x^{3} - 147 x^{2} - 42 x - 6\right) e^{- 7 x}}{49}+C$$

$$$\int 49 x^{3} e^{- 7 x}\, dx = \frac{\left(- 343 x^{3} - 147 x^{2} - 42 x - 6\right) e^{- 7 x}}{49} + C$$$A