$$$\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$。

设$$$u=x^{3}$$$。

则$$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}$$

设$$$v=\frac{1}{u}$$$。

则$$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

回忆一下 $$$v=\frac{1}{u}$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}$$

回忆一下 $$$u=x^{3}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}^{-1}} = - e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}$$

因此，

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}+C$$

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$$$A