$$$\left(2 x - 1\right)^{4}$$$ 的积分

求$$$\int \left(2 x - 1\right)^{4}\, dx$$$。

设$$$u=2 x - 1$$$。

则$$$du=\left(2 x - 1\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\left(2 x - 1\right)^{4} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{4}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u^{4}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u^{4}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{4} d u}}{2}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=4$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{4} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 4}}{1 + 4}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{5}}{5}\right)}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=2 x - 1$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{5}}{10} = \frac{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}^{5}}{10}$$

因此，

$$\int{\left(2 x - 1\right)^{4} d x} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{5}}{10}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(2 x - 1\right)^{4} d x} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{5}}{10}+C$$

$$$\int \left(2 x - 1\right)^{4}\, dx = \frac{\left(2 x - 1\right)^{5}}{10} + C$$$A