$$$2 e^{3 x}$$$ 的积分

求$$$\int 2 e^{3 x}\, dx$$$。

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{3 x} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{3 x} d x}\right)}}$$

设$$$u=3 x$$$。

则$$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{3}$$$。

该积分可以改写为

$$2 {\color{red}{\int{e^{3 x} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

回忆一下 $$$u=3 x$$$:

$$\frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{2 e^{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}}{3}$$

因此，

$$\int{2 e^{3 x} d x} = \frac{2 e^{3 x}}{3}$$

加上积分常数：

$$\int{2 e^{3 x} d x} = \frac{2 e^{3 x}}{3}+C$$

$$$\int 2 e^{3 x}\, dx = \frac{2 e^{3 x}}{3} + C$$$A