$$$\frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt$$$。

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(4 t \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(4 t \right)} d t}}{2}\right)}}$$

设$$$u=4 t$$$。

则$$$du=\left(4 t\right)^{\prime }dt = 4 dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = \frac{du}{4}$$$。

积分变为

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 t \right)} d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2}$$

对 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{8} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{8}$$

回忆一下 $$$u=4 t$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 t\right)}} \right)}}{8}$$

因此，

$$\int{\frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} d t} = \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} d t} = \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8} + C$$$A