$$$\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}\, dt$$$。

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}{2}\right)}}$$

设$$$u=\frac{t}{2}$$$。

则$$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = 2 du$$$。

积分变为

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{t}{2}$$$:

$$\sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sin{\left({\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}\, dt = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} + C$$$A