$$$\left(20 - 5 x\right)^{2}$$$ 的积分
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求$$$\int \left(20 - 5 x\right)^{2}\, dx$$$。
解答
设$$$u=20 - 5 x$$$。
则$$$du=\left(20 - 5 x\right)^{\prime }dx = - 5 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - \frac{du}{5}$$$。
该积分可以改写为
$${\color{red}{\int{\left(20 - 5 x\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2}}{5}\right)d u}}}$$
对 $$$c=- \frac{1}{5}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{u^{2} d u}}{5}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：
$$- \frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{5}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{5}=- \frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}}{5}$$
回忆一下 $$$u=20 - 5 x$$$:
$$- \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{15} = - \frac{{\color{red}{\left(20 - 5 x\right)}}^{3}}{15}$$
因此，
$$\int{\left(20 - 5 x\right)^{2} d x} = - \frac{\left(20 - 5 x\right)^{3}}{15}$$
化简：
$$\int{\left(20 - 5 x\right)^{2} d x} = \frac{25 \left(x - 4\right)^{3}}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(20 - 5 x\right)^{2} d x} = \frac{25 \left(x - 4\right)^{3}}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(20 - 5 x\right)^{2}\, dx = \frac{25 \left(x - 4\right)^{3}}{3} + C$$$A