$$$t^{2} e^{- t}$$$ 的积分
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求$$$\int t^{2} e^{- t}\, dt$$$。
解答
对于积分$$$\int{t^{2} e^{- t} d t}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
设 $$$\operatorname{u}=t^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$。
则 $$$\operatorname{du}=\left(t^{2}\right)^{\prime }dt=2 t dt$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (步骤见 »)。
积分变为
$${\color{red}{\int{t^{2} e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(t^{2} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 2 t d t}\right)}}={\color{red}{\left(- t^{2} e^{- t} - \int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}\right)}}$$
对 $$$c=-2$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = t e^{- t}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：
$$- t^{2} e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}}} = - t^{2} e^{- t} - {\color{red}{\left(- 2 \int{t e^{- t} d t}\right)}}$$
对于积分$$$\int{t e^{- t} d t}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
设 $$$\operatorname{u}=t$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$。
则 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (步骤见 »)。
所以，
$$- t^{2} e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}=- t^{2} e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}=- t^{2} e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$
对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：
$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$
设$$$u=- t$$$。
则$$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = - du$$$。
所以，
$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$
对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$
指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：
$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$
回忆一下 $$$u=- t$$$:
$$- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$
因此，
$$\int{t^{2} e^{- t} d t} = - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$$
化简：
$$\int{t^{2} e^{- t} d t} = \left(- t^{2} - 2 t - 2\right) e^{- t}$$
加上积分常数：
$$\int{t^{2} e^{- t} d t} = \left(- t^{2} - 2 t - 2\right) e^{- t}+C$$
答案
$$$\int t^{2} e^{- t}\, dt = \left(- t^{2} - 2 t - 2\right) e^{- t} + C$$$A