$$$\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$$$ 关于$$$x$$$的积分
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求$$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$$$。
解答
设$$$u=a^{\sqrt{x}}$$$。
则$$$du=\left(a^{\sqrt{x}}\right)^{\prime }dx = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln{\left(a \right)}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{a^{\sqrt{x}} dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 du}{\ln{\left(a \right)}}$$$。
该积分可以改写为
$${\color{red}{\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{2}{\ln{\left(a \right)}}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = 1$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{1 d u}}{\ln{\left(a \right)}}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：
$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}}$$
回忆一下 $$$u=a^{\sqrt{x}}$$$:
$$\frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{a^{\sqrt{x}}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$
因此，
$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}$$
加上积分常数：
$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}+C$$
答案
$$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln\left(a\right)} + C$$$A