$$$- r^{2} + 2 z^{2}$$$ 关于$$$r$$$的积分
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求$$$\int \left(- r^{2} + 2 z^{2}\right)\, dr$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(- r^{2} + 2 z^{2}\right)d r}}} = {\color{red}{\left(- \int{r^{2} d r} + \int{2 z^{2} d r}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int r^{n}\, dr = \frac{r^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：
$$\int{2 z^{2} d r} - {\color{red}{\int{r^{2} d r}}}=\int{2 z^{2} d r} - {\color{red}{\frac{r^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\int{2 z^{2} d r} - {\color{red}{\left(\frac{r^{3}}{3}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dr = c r$$$，使用 $$$c=2 z^{2}$$$：
$$- \frac{r^{3}}{3} + {\color{red}{\int{2 z^{2} d r}}} = - \frac{r^{3}}{3} + {\color{red}{\left(2 r z^{2}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- r^{2} + 2 z^{2}\right)d r} = - \frac{r^{3}}{3} + 2 r z^{2}$$
化简：
$$\int{\left(- r^{2} + 2 z^{2}\right)d r} = \frac{r \left(- r^{2} + 6 z^{2}\right)}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(- r^{2} + 2 z^{2}\right)d r} = \frac{r \left(- r^{2} + 6 z^{2}\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(- r^{2} + 2 z^{2}\right)\, dr = \frac{r \left(- r^{2} + 6 z^{2}\right)}{3} + C$$$A