法线计算器

求$$$y = x^{2} + 1$$$在$$$x = 2$$$处的法线。

已知 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$$ 且 $$$x_{0} = 2$$$。

在给定点处求函数的值：$$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 5$$$。

在$$$x = x_{0}$$$处的法线的斜率等于函数在$$$x = x_{0}$$$处导数的负倒数：$$$M{\left(x_{0} \right)} = - \frac{1}{f^{\prime }\left(x_{0}\right)}$$$。

求导数：$$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{2} + 1\right)^{\prime } = 2 x$$$（步骤请参见导数计算器）。

因此，$$$M{\left(x_{0} \right)} = - \frac{1}{f^{\prime }\left(x_{0}\right)} = - \frac{1}{2 x_{0}}$$$。

接下来，在给定点处求斜率。

$$$m = M{\left(2 \right)} = - \frac{1}{4}$$$

最后，法线的方程为 $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$。

将求得的值代入，得到$$$y - 5 = - \frac{x - 2}{4}$$$。

或者，更简单地说：$$$y = \frac{11}{2} - \frac{x}{4}$$$。

法线的方程为 $$$y = \frac{11}{2} - \frac{x}{4} = 5.5 - 0.25 x$$$A。