$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$'in özdeğerleri ve özvektörleri

$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$ için özdeğerleri ve özvektörleri bulun.

Önce, verilen matrisin köşegen elemanlarından $$$\lambda$$$ çıkararak yeni bir matris oluşturun: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right]$$$

Elde edilen matrisin determinantı $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right)$$$ (adımlar için bkz. determinant hesaplayıcısı).

Denklemi çözün $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right) = 0$$$.

Kökler $$$\lambda_{1} = 2$$$, $$$\lambda_{2} = -1$$$ (adımlar için bkz. denklem çözücü).

Bunlar özdeğerlerdir.

Ardından, özvektörleri bulun.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 - i\\1 + i & -2\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

• $$$\lambda = -1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

Özdeğer: $$$2$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]$$$A.

Özdeğer: $$$-1$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.