$$$e^{4 x^{2}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int e^{4 x^{2}}\, dx$$$.

$$$u=2 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$${\color{red}{\int{e^{4 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{2} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

Bu integralin (İmajiner Hata Fonksiyonu) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(2 x \right)}}{4}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(2 x \right)}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(2 x \right)}}{4} + C$$$A