$$$4 \sin^{2}{\left(x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=4$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{4 \sin^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\sin^{2}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Kuvvet indirgeme formülü $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$'i $$$\alpha=x$$$ ile uygula:

$$4 {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(x \right)} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(2 x \right)}$$$ ile uygula:

$$4 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}} = 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

Her terimin integralini alın:

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dx = c x$$$ sabit kuralını uygula:

$$- 2 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + 2 {\color{red}{\int{1 d x}}} = - 2 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + 2 {\color{red}{x}}$$

$$$u=2 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$$2 x - 2 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}} = 2 x - 2 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$$2 x - 2 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = 2 x - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Kosinüsün integrali $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$2 x - {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 x - {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x$$$:

$$2 x - \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 x - \sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{4 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} = 2 x - \sin{\left(2 x \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{4 \sin^{2}{\left(x \right)} d x} = 2 x - \sin{\left(2 x \right)}+C$$

$$$\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) + C$$$A