$$$e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}\, dx$$$.

$$$u=e^{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$e^{x} dx = du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{u^{2}} d u}}}$$

$$$v=\frac{1}{u}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \operatorname{acot}{\left(v \right)}\right)d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \operatorname{acot}{\left(v \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- \operatorname{acot}{\left(v \right)}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\operatorname{acot}{\left(v \right)} d v}\right)}}$$

$$$\int{\operatorname{acot}{\left(v \right)} d v}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dy} = \operatorname{m}\operatorname{y} - \int \operatorname{y} \operatorname{dm}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{m}=\operatorname{acot}{\left(v \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dy}=dv$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dm}=\left(\operatorname{acot}{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv=- \frac{1}{v^{2} + 1} dv$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{y}=\int{1 d v}=v$$$ (adımlar için bkz. »).

O halde,

$$- {\color{red}{\int{\operatorname{acot}{\left(v \right)} d v}}}=- {\color{red}{\left(\operatorname{acot}{\left(v \right)} \cdot v-\int{v \cdot \left(- \frac{1}{v^{2} + 1}\right) d v}\right)}}=- {\color{red}{\left(v \operatorname{acot}{\left(v \right)} - \int{\left(- \frac{v}{v^{2} + 1}\right)d v}\right)}}$$

$$$w=v^{2} + 1$$$ olsun.

Böylece $$$dw=\left(v^{2} + 1\right)^{\prime }dv = 2 v dv$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$v dv = \frac{dw}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$$- v \operatorname{acot}{\left(v \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{v}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = - v \operatorname{acot}{\left(v \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 w}\right)d w}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$'i $$$c=- \frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(w \right)} = \frac{1}{w}$$$ ile uygula:

$$- v \operatorname{acot}{\left(v \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 w}\right)d w}}} = - v \operatorname{acot}{\left(v \right)} + {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{w} d w}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{w}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{w} d w} = \ln{\left(\left|{w}\right| \right)}$$$:

$$- v \operatorname{acot}{\left(v \right)} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{w} d w}}}}{2} = - v \operatorname{acot}{\left(v \right)} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{w}\right| \right)}}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$w=v^{2} + 1$$$:

$$- v \operatorname{acot}{\left(v \right)} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{w}}}\right| \right)}}{2} = - v \operatorname{acot}{\left(v \right)} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(v^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$v=\frac{1}{u}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{v}}^{2} \right)}}{2} - {\color{red}{v}} \operatorname{acot}{\left({\color{red}{v}} \right)} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\frac{1}{u}}}^{2} \right)}}{2} - {\color{red}{\frac{1}{u}}} \operatorname{acot}{\left({\color{red}{\frac{1}{u}}} \right)}$$

Hatırlayın ki $$$u=e^{x}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{-2} \right)}}{2} - {\color{red}{u}}^{-1} \operatorname{acot}{\left({\color{red}{u}}^{-1} \right)} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{e^{x}}}^{-2} \right)}}{2} - {\color{red}{e^{x}}}^{-1} \operatorname{acot}{\left({\color{red}{e^{x}}}^{-1} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(1 + e^{- 2 x} \right)}}{2} - e^{- x} \operatorname{acot}{\left(e^{- x} \right)}$$

Sadeleştirin:

$$\int{e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} d x} = x - \frac{\ln{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2} - e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} d x} = x - \frac{\ln{\left(e^{2 x} + 1 \right)}}{2} - e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}\, dx = \left(x - \frac{\ln\left(e^{2 x} + 1\right)}{2} - e^{- x} \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}\right) + C$$$A