Singulärvärdesdekomposition av $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$

Bestäm singulärvärdesdekompositionen för $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Bestäm matrisens transponat: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$ (för stegen, se kalkylator för matristransponering).

Multiplicera matrisen med dess transponat: $$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (för steg, se kalkylator för matrismultiplikation).

Bestäm nu egenvärdena och egenvektorerna för $$$W$$$ (för stegen, se kalkylator för egenvärden och egenvektorer).

Egenvärde: $$$1$$$, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$.

Egenvärde: $$$0$$$, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$.

Bestäm kvadratrötterna till de nollskilda egenvärdena ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 1$$$

Matrisen $$$\Sigma$$$ är en nollmatris med $$$\sigma_{i}$$$ på diagonalen: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Kolumnerna i matrisen $$$U$$$ är de normaliserade (enhets)vektorerna: $$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$ (för steg för att hitta en enhetsvektor, se enhetsvektorräknare).

Nu, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (för stegen, se kalkylator för skalärmultiplikation av en matris och kalkylator för matrismultiplikation).

Eftersom vi har slut på icke-noll $$$\sigma_{i}$$$ och behöver en vektor till, hitta en vektor som är ortogonal mot alla de funna vektorerna genom att bestämma nollrummet för matrisen vars rader är de funna vektorerna: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$ (för stegen, se nollrumsräknare).

Normalisera vektorn: den blir $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$, (för stegen, se enhetsvektorräknare).

Således, $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$.

Matriserna $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ och $$$V$$$ är sådana att den ursprungliga matrisen $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A