Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$- \lambda \left(1 - \lambda\right)$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$- \lambda \left(1 - \lambda\right) = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 0$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & -1\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$1$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$0$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A.