$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Bestäm $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Diagonalisera först matrisen (för stegvisa instruktioner, se kalkylator för matrisdiagonalisering).

Eftersom matrisen inte är diagonaliserbar, skriv den som summan av den diagonala matrisen $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ och den nilpotenta matrisen $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Observera att $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Detta innebär att $$$e^{N} = I + N$$$, dvs. $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Matrisexponentialen av en diagonalmatris är en matris vars diagonalelement exponentieras: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Nu gäller $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Slutligen multiplicera matriserna:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (för beräkningssteg, se kalkylator för matrismultiplikation).

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A