Egenvärden och egenvektorer för $$$\left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$

Bestäm egenvärdena och egenvektorerna till $$$\left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$.

Börja med att bilda en ny matris genom att subtrahera $$$\lambda$$$ från diagonalelementen i den givna matrisen: $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinanten av den resulterande matrisen är $$$\lambda \left(\lambda - 16\right)$$$ (för stegen, se determinantkalkylator).

Lös ekvationen $$$\lambda \left(\lambda - 16\right) = 0$$$.

Rötterna är $$$\lambda_{1} = 16$$$, $$$\lambda_{2} = 0$$$ (för steg, se ekvationslösaren).

Dessa är egenvärdena.

Bestäm sedan egenvektorerna.

• $$$\lambda = 16$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-8 & 8\\8 & -8\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$

  Nollrummet för denna matris är $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (för stegen, se nollrumsräknaren).

  Detta är egenvektorn.

Egenvärde: $$$16$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Egenvärde: $$$0$$$A, multiplicitet: $$$1$$$A, egenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.