|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kalkylator för mittpunktsregeln för en funktion
Approximera en integral (given av en funktion) med mittpunktsregeln steg för steg
En onlinekalkylator för att approximera den bestämda integralen med hjälp av mittpunktsregeln (mittordinatregeln), med stegvis genomgång.
Relaterad kalkylator: Kalkylator för mittpunktsregeln för en tabell
Din inmatning
Approximera integralen $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ med $$$n = 4$$$ med hjälp av mittpunktsregeln.
Lösning
mittpunktsregeln (även kallad mittpunktsapproximationen) använder mittpunkten av ett delintervall för att beräkna höjden på approximationsrektangeln:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
där $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Vi har att $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ och $$$n = 4$$$.
Således, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Dela intervallet $$$\left[1, 3\right]$$$ i $$$n = 4$$$ delintervall av längd $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ med följande ändpunkter: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Beräkna nu helt enkelt funktionen i delintervallens mittpunkter.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Slutligen, summera helt enkelt de ovanstående värdena och multiplicera med $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Svar
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A