|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kalkylator för vänsterändpunktsapproximation av en funktion
Approximera en integral (angiven av en funktion) med de vänstra ändpunkterna steg för steg
En onlinekalkylator för att approximera den bestämda integralen med hjälp av de vänstra ändpunkterna (den vänstra Riemannsumman), med visade steg.
Relaterad kalkylator: Kalkylator för vänsterändpunktsapproximation för en tabell
Din inmatning
Approximera integralen $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ med $$$n = 5$$$ med hjälp av vänsterändpunktsapproximationen.
Lösning
Den vänstra Riemannsumman (även känd som den vänstra ändpunktsapproximationen) använder subintervallets vänstra ändpunkt för att beräkna höjden av den approximerande rektangeln:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
där $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Vi har att $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ och $$$n = 5$$$.
Således, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
Dela intervallet $$$\left[0, 4\right]$$$ i $$$n = 5$$$ delintervall av längd $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ med följande ändpunkter: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
Utvärdera nu bara funktionen vid delintervallens vänstra ändpunkter.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
Slutligen, summera helt enkelt de ovanstående värdena och multiplicera med $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
Svar
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A