Integralen av $$$x^{2} e^{2 x}$$$

Bestäm $$$\int x^{2} e^{2 x}\, dx$$$.

För integralen $$$\int{x^{2} e^{2 x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{2 x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{2 x} d x}=\frac{e^{2 x}}{2}$$$ (stegen kan ses »).

Integralen blir

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{2 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2}-\int{\frac{e^{2 x}}{2} \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int{x e^{2 x} d x}\right)}}$$

För integralen $$$\int{x e^{2 x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{2 x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{2 x} d x}=\frac{e^{2 x}}{2}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - {\color{red}{\int{x e^{2 x} d x}}}=\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - {\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{2 x}}{2}-\int{\frac{e^{2 x}}{2} \cdot 1 d x}\right)}}=\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{x e^{2 x}}{2} - \int{\frac{e^{2 x}}{2} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$:

$$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{2} d x}}} = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{2 x} d x}}{2}\right)}}$$

Låt $$$u=2 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Alltså,

$$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}}}{2} = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}}{2}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}}{2} = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

Kom ihåg att $$$u=2 x$$$:

$$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}}{4}$$

Alltså,

$$\int{x^{2} e^{2 x} d x} = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}$$

Förenkla:

$$\int{x^{2} e^{2 x} d x} = \frac{\left(2 x^{2} - 2 x + 1\right) e^{2 x}}{4}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x^{2} e^{2 x} d x} = \frac{\left(2 x^{2} - 2 x + 1\right) e^{2 x}}{4}+C$$

$$$\int x^{2} e^{2 x}\, dx = \frac{\left(2 x^{2} - 2 x + 1\right) e^{2 x}}{4} + C$$$A